ЗАДАЧА. Определите до какой температуры нагрелась обмотка электродвигателя, если до начала работы при температуры 20 С˚ сопротивление его обмотка, выполненной из алюминия, составляло 0,2 Ом, а по окончанию 0,25 Ом Алюминий Удельное сопротивление при t = +20˚С p, Ом·мм2/м = 0,0283
αᵨ=0,0042 °Cˉ¹
Мы знаем, что обмотка электродвигателя в начале имеет сопротивление 0,2 Ом, а по окончанию работы увеличивается до 0,25 Ом. Также нам дано, что удельное сопротивление алюминия при температуре 20˚С равно 0,0283 Ом·мм²/м, а коэффициент температурной зависимости удельного сопротивления алюминия αᵨ = 0,0042 °Cˉ¹.
Первым шагом необходимо найти изменение сопротивления обмотки электродвигателя. Для этого воспользуемся формулой для температурной зависимости сопротивления обмотки:
ΔR = αᵨ * R₀ * Δt,
где ΔR - изменение сопротивления обмотки,
αᵨ - коэффициент температурной зависимости,
R₀ - исходное сопротивление обмотки,
Δt - изменение температуры.
Δt = Tf - Ti,
где Tf - конечная температура,
Ti - начальная температура.
Подставляя известные значения, получаем:
ΔR = 0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C).
Вторым шагом найдем изменение длины обмотки электродвигателя. Для этого воспользуемся формулой для температурной зависимости длины:
ΔL = α˜ * L₀ * Δt,
где ΔL - изменение длины обмотки,
α˜ - коэффициент температурной зависимости длины,
L₀ - исходная длина обмотки,
Δt - изменение температуры.
Так как сопротивление обмотки прямо пропорционально ее длине, то мы можем записать:
ΔR = αᵨ * R₀ * ΔL / L₀,
где ΔR - изменение сопротивления обмотки,
αᵨ - коэффициент температурной зависимости сопротивления,
R₀ - исходное сопротивление обмотки,
ΔL - изменение длины обмотки,
L₀ - исходная длина обмотки.
Ставим равенство двух выражений:
0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C) = ΔR = αᵨ * R₀ * ΔL / L₀.
Сокращаем αᵨ с R₀ и L₀:
0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C) = ΔL.
Третьим шагом найдем изменение сопротивления обмотки, если изменение длины обмотки равно ΔL.
ΔR = ρ * (ΔL / S),
где ΔR - изменение сопротивления обмотки,
ρ - удельное сопротивление алюминия при температуре Tf,
ΔL - изменение длины обмотки,
S - площадь поперечного сечения обмотки.
Заменяем ΔR = ρ * (ΔL / S):
0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C) = ρ * (ΔL / S).
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: ΔL и Tf. Решим их совместно.
С прошлого шага мы знаем: ΔL = 0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C).
Подставляем эту формулу в уравнение:
0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C) = ρ * (ΔL / S).
0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C) = ρ * (0,0042 °Cˉ¹ * 0,2 Ом * (Tf - 20 °C) / S).
Сокращаем общие множители:
(Tf - 20 °C) = (Tf - 20 °C) / S.
Умножаем обе стороны на S:
(Tf - 20 °C) * S = (Tf - 20 °C).
Теперь выделяем Tf:
Tf * S - 20 °C * S = Tf - 20 °C.
Переносим все, что содержит Tf, на одну сторону:
Tf * S - Tf = 20 °C * S - 20 °C.
Факторизуем Tf:
Tf * (S - 1) = 20 °C * (S - 1).
Получаем:
Tf = 20 °C.
Ответ: обмотка электродвигателя нагрелась до температуры 20 °C.