X^{2}+y^{2}+10x+6y+34=0 решить уравнение

X² + y² + 10x + 6y + 34 = 0(x² + 10x + 25 ) + (y² + 6y + 9) = 0
(x + 5)² + (y + 3)² = 0
(x + 5)² ≥ 0 при любых значениях x
(y + 3)² ≥ 0 при любых значениях y

Значит это равенство выполняется только в случае, когда 
x + 5 = 0          и       y + 3 = 0

x = - 5                       y = - 3

X^2+10x+25+y^2+6y+9=0
(x+5)^2+(y+3)^2=0
Поскольку квадрат любого числа неотрицательный, а тут сумма двух квадратов равна нулю, значит, и первая и вторая сумма равна нулю. То есть x+5=0, y+3=0. Отсюда x=-5, y=-3.