При яких значеннях параметра a корені рівняння x²-(2a+1)x+4-a=0 розміщенні між числами 1 і 3?

Ответ:

2007пуля

08.10.2020 15:13

Для того, что бы оба корня квадратного уравнения ax^2+bx+c=0

находились между

, необходимо и достаточно, что бы выполнялись условия:

Случай 1:
$\begin{equation*}
 \begin{cases}
 a\ \textgreater \ 0\\
 D \geq 0\\
 M \ \textless \ -\frac{b}{2a} \ \textless \ N\\
 f(M)\ \textgreater \ 0\\
 f(N)\ \textgreater \ 0
 \end{cases}
\end{equation*}$

Случай 2:
$\begin{equation*}
 \begin{cases}
 a\ \textless \ 0\\
 D \geq 0\\
 M \ \textless \ -\frac{b}{2a} \ \textless \ N\\
 f(M)\ \textless \ 0\\
 f(N)\ \textless \ 0
 \end{cases}
\end{equation*}$

---------------------------------
$x^2-(2a+1)x+4-a=0\ \ \ \ M=1\ \ \ \ N=3\\\\
\begin{equation*}
 \begin{cases}
 1\ \textgreater \ 0\\
 D=[-(2a+1)]^2-4*1*(4-a) \geq 0\\
 1 \ \textless \ -\frac{-(2a+1)}{2*1} \ \textless \ 3\\
 f(1)=1-(2a+1)*1+4-a\ \textgreater \ 0\\
 f(3)=3^2-(2a+1)*3+4-a\ \textgreater \ 0
 \end{cases}
\end{equation*}\\\\$

$\begin{equation*}
 \begin{cases}
 4a^2+4a+1-16+4a \geq 0\\
 2 \ \textless \ 2a+1 \ \textless \ 6\\
 5-a-2a-1\ \textgreater \ 0\\
 13-a-6a-3\ \textgreater \ 0
 \end{cases}
\end{equation*} \\\\
\begin{equation*}
 \begin{cases}
 4a^2+8a-15 \geq 0\\
 1 \ \textless \ 2a \ \textless \ 5\\
 -3a\ \textgreater \ -4\\
 -7a\ \textgreater \ -10
 \end{cases}
\end{equation*} \\\\$

$\begin{equation*}
 \begin{cases}
 4a^2+8a-15 \geq 0\ \ \ D=8^2+4*4*15=19*4^2\\
 \frac{1}{2} \ \textless \ a \ \textless \ \frac{5}{2}\\
 a\ \textless \ \frac{4}{3}\\
 a\ \textless \ \frac{10}{7}
 \end{cases}
\end{equation*} \\\\
\begin{equation*}
 \begin{cases}
 [a-\frac{-8-4\sqrt{19}}{4*2}]*[a-\frac{-8+4\sqrt{19}}{4*2}] \geq 0\\
 a \ \textgreater \ \frac{1}{2}\\
 a\ \textless \ \frac{4}{3}\\
 \end{cases}
\end{equation*}\\\\$

$\begin{equation*}
 \begin{cases}
 [a-\frac{-2-\sqrt{19}}{2}]*[a-\frac{-2+\sqrt{19}}{2}] \geq 0\\
 \frac{1}{2}\ \textless \ a\ \textless \ \frac{4}{3}
 \end{cases}
\end{equation*}\\\\
\begin{equation*}
 \begin{cases}
 a\in(-\infty;\ \frac{-2-\sqrt{19}}{2}]\cup[\frac{-2+\sqrt{19}}{2};\ +\infty)\\
 a\in(\frac{1}{2};\ \frac{4}{3})
 \end{cases}
\end{equation*}\\\\$

$\frac{4}{3}\ ?\ \frac{-2+\sqrt{19}}{2}\\\\
8\ ?\ -6+3\sqrt{19}\\\\
14\ ?\ 3\sqrt{19}\\\\
\sqrt{196}\ \textgreater \ \sqrt{171}$

$\frac{1}{2}\ ?\ \frac{-2+\sqrt{19}}{2}\\\\
1\ ?\ -2+\sqrt{19}\\\\
3\ ?\ \sqrt{19}\\\\
9\ \textless \ 19$

--------------------------------------
$a\in[\frac{-2+\sqrt{19}}{2};\ \frac{4}{3})$