Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 4x - 7, мы сначала найдем производную этой функции и проанализируем знаки этой производной на всей области определения функции.
Шаг 1: Находим производную функции f(x)
Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:
f'(x) = d/dx(x^3) + d/dx(4x) - d/dx(7)
f'(x) = 3x^2 + 4
Шаг 2: Анализируем знаки производной
Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю или неопределена, мы решаем уравнение f'(x) = 0:
3x^2 + 4 = 0
3x^2 = -4
x^2 = -4/3
Заметим, что у нас нет действительных решений уравнения, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Значит, уравнение не имеет решений и производная нигде не обращается в нуль.
Шаг 3: Анализируем знаки производной на интервалах
Для этого выберем тестовые значения x на каждом интервале и подставим их в производную. Таким образом мы определим знаки производной и соответствующие промежутки возрастания и убывания функции f(x).
- Для интервала (-∞, -√(4/3)) возьмем x = -2:
f'(-2) = 3(-2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 > 0
Производная положительна на этом интервале, значит функция возрастает.
- Для интервала (-√(4/3), +∞) возьмем x = 2:
f'(2) = 3(2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 > 0
Производная положительна на этом интервале, значит функция также возрастает.
Шаг 4: Выводим результаты
Таким образом, функция f(x) = x^3 + 4x - 7 возрастает на всей числовой прямой, или говоря иначе, не имеет промежутков убывания.
Шаг 1: Находим производную функции f(x)
Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности:
f'(x) = d/dx(x^3) + d/dx(4x) - d/dx(7)
f'(x) = 3x^2 + 4
Шаг 2: Анализируем знаки производной
Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю или неопределена, мы решаем уравнение f'(x) = 0:
3x^2 + 4 = 0
3x^2 = -4
x^2 = -4/3
Заметим, что у нас нет действительных решений уравнения, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Значит, уравнение не имеет решений и производная нигде не обращается в нуль.
Шаг 3: Анализируем знаки производной на интервалах
Для этого выберем тестовые значения x на каждом интервале и подставим их в производную. Таким образом мы определим знаки производной и соответствующие промежутки возрастания и убывания функции f(x).
- Для интервала (-∞, -√(4/3)) возьмем x = -2:
f'(-2) = 3(-2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 > 0
Производная положительна на этом интервале, значит функция возрастает.
- Для интервала (-√(4/3), +∞) возьмем x = 2:
f'(2) = 3(2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16 > 0
Производная положительна на этом интервале, значит функция также возрастает.
Шаг 4: Выводим результаты
Таким образом, функция f(x) = x^3 + 4x - 7 возрастает на всей числовой прямой, или говоря иначе, не имеет промежутков убывания.