Пусть r, h - радиус основания и высота цилиндра, R,H - радиус основания и высота конуса. Из подобия треугольников находим: r/(H-h) = R/H, откуда R = r*H/(H-h). Подставляем R в формулу для объема конуса: V = (1/3)*H*п*R^2 = (п/3)*r^2*H^3/(H-h)^2. Дифференцируем V по H: dV/dH = (п*r^2)*(H^2/(H-h)^2 - (2/3)*H^3/(H-h)^3)= =(п*r^2*H^2/(H-h)^2)*(1-(2/3)*H/(H-h)). Приравнивая производную нулю. Отбрасываем решение H=0 так как H>h, и находим экстремум при H = 3*h. Этот единственный экстремум должен соответствовать минимуму. То есть, объем описанного конуса минимален, когда высота конуса в три раза больше высоты цилиндра.
R,H - радиус основания и высота конуса.
Из подобия треугольников находим:
r/(H-h) = R/H, откуда
R = r*H/(H-h).
Подставляем R в формулу для объема конуса:
V = (1/3)*H*п*R^2 = (п/3)*r^2*H^3/(H-h)^2.
Дифференцируем V по H:
dV/dH = (п*r^2)*(H^2/(H-h)^2 - (2/3)*H^3/(H-h)^3)=
=(п*r^2*H^2/(H-h)^2)*(1-(2/3)*H/(H-h)).
Приравнивая производную нулю.
Отбрасываем решение H=0 так как H>h, и находим экстремум при H = 3*h. Этот единственный экстремум должен соответствовать минимуму.
То есть, объем описанного конуса минимален, когда высота конуса в три
раза больше высоты цилиндра.