Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти $\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{a1a2} + \frac{1}{a2a3} + + \frac{1}{a_{n}a_{n+1} })$ ,
где { $a_{k}$ } - арифметическая прогрессия, все члены и разность d которой отличны от нуля.

Ответ:

котейка52

07.10.2020 08:12

Распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1a_2}+\dfrac{d}{a_2a_3}+...+\dfrac{d}{a_na_{n+1}}\right)=\\ \\ \\= \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{d}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{d}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{a_1+d-a_1}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{a_1+2d-(a_1+d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}+...+\dfrac{a_1+nd-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\bigg)=$

$=\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+d}+\dfrac{1}{a_1+d}-\dfrac{1}{a_1+2d}+...+\dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-\dfrac{1}{a_1+nd}\bigg)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\cdot \left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)$

Переходя к пределу при $n\to \infty$ мы получим

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

ответ: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}+...+\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

MrRobik

28.07.2020 09:49

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями у=x^2, у=2-х.А) 3,5; Б) 4;В) 4,5;Г) 5....

Goncharovskai

24.03.2023 22:14

Побудуйте математичну модель задачі: довжина поля 500 м, а ширина 300 м.Знайдіть:площу поля;периметр поля ть треб...

nike1110

28.09.2021 09:51

2. Чи проходить графік функції у = х2 через точку: 1) А(-4; 16); 2) В(16; -4); 3) С(1/2; 1/4) 4) D(0; 2)?...

AVRORA444

24.12.2020 13:07

Втреугольнике один из углов равен 72 градуса.чему не может равняться другой его угол? варианты ответов 1. 72 градуса. 2. 90 градусов. 3. 102 градуса. 4. 110 градусов. 5....

Сабрина185к

11.07.2020 04:59

1) выражение : (cos(a) - cos(3a)*(sin(a)+sin(3a))/1-cos(4a) 2)найти производную функций а) у=1/4+4х б)у=(3-х/2)^-9 в)у=(sin(x/2)-cos(x/...

1mironov1

13.09.2020 20:06

Найдите значение выражения log2 6,4+log2 5...

катя4762

13.09.2020 20:06

20 ! , решите уравнение x-7/3-1=x+2/2+2...

Irisha1986

25.03.2020 20:51

Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций у=-х и у=3х-4...

1234567890854

25.03.2020 20:51

Найдите пару чисел, которая является решением уравнения 7x-4y-12=0 с решением...

Matthew4567

25.03.2020 20:51

Докажите что значение выражения (a-b)+(b-c)+(c-a) равно 0...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку