Докажите неравенство (a^3*b^3)/2=((a+b)/2)^3

(a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b)>=3ab(a-b)^2
(a-b)^2((a^2-2ab+b^2)+3ab)>=3ab(a-b)^3
(a-b)^2((a-b)^2+3ab)>=3ab(a-b)^2
(a-b)^4+3ab(a-b)^2>=3ab(a-b)^2

(a^3-b^3)(a-b) ≥ 3ab(a-b)^2
(a³-b³)(a-b)-3ab(a-b)² ≥ 0
преобразуем левую часть неравенства, вынося (a-b) за скобки:
(a-b)(a-b)(a²+ab+b²) -3ab(a-b)² =
(a-b)²(a²+ab+b²-3ab)=
(a-b)²(a-b)² = (a-b)^4 - выражение в чётной степени всегда число неотрицательное, следовательно (a-b)^4 ≥ 0