Сумма трех положительных чисел,составляющих арифметическую прогрессию, равна 12. если ко второму изних прибавить 2, к третьему 12, а первое оставить без изменения, получится прогрессия. найдите произведение исходных трёх чисел.

Ответ:

унитазавр

10.08.2020 08:56

Пусть первый член арифметической прогрессии a_1

, второй - a_2=a_1+d

, третий - a_3=a_1+2d

. Их сумма по условию равна 12:
$a_1+a_2+a_3=12
\\\
a_1+a_1+d+a_1+2d=12
\\\
3a_1+3d=12
\\\
a_1+d=4$
Первый член геометрической прогрессии в этом случае b_1=a_1

, второй - b_2=a_2+2=a_1+d+2

, третий - b_3=a_3+12=a_1+2d+12

.
Запишем характеристическое свойство геометрической прогрессии:
$b_2^2=b_1b_3
\\\
(a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12)$
Объединяем два уравнения в систему:
$\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (a_1+d+2)^2=a_1(a_1+2d+12) \end{array}
$
$\left\{\begin{array}{l} a_1+d=4 \\ (4+2)^2=a_1(4+d+12) \end{array}$
$\left\{\begin{array}{l} d=4-a_1 \\ a_1(d+16)=36 \end{array}$
$a_1(4-a_1+16)=36 
\\\
 a_1(20-a_1)=36 
\\\
20a_1-a_1^2=36
\\\
a_1^2-20a_1+36=0
\\\
(a_1-18)(a_1-2)=0$
1.
$(a_1)_1=18 \Rightarrow d=4-18=-14; \ a_2=4; \ a_3=-10$ - не все члены положительные числа - противоречие условию
2.
$(a_1)_2=2 \Rightarrow d=4-2=2; \ a_2=4; \ a_3=6
\\\
a_1a_2a_3=2\cdot4\cdot6=48$
ответ: 48

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра