Спроизводной для огораживания земельного участка площадью 242 м2, имеющего форму прямоугольника, выделено 2000 д. е. с трех сторон должен быть штакетник стоимостью 25 д. е. за метр, а с одной стороны – живая изгородь стоимостью 75 д. е. за метр.хватит ли отпущенных средств на устройство изгороди? какова минимальная сумма, необходимая для этой цели?
x*y = 242.
пусть s - общая сумма, s<=2000
s = 75*x + 25*(x+y+y) - все четыре стороны.
s = 100x + 50y
из первого уравнения y=242/x
s (x) = 100x + (50*242)/x
s' (x) = 100 - (50*242)/(x^2). чтобы найти точку минимума функции, приравняем s'(x) к нулю.
100 = (50*242)/x^2
x^2 = 50*242/100 = 121; x=11 - в этой точке значение S(x) минимальное (можно нарисовать числовую прямую, расставить знаки и посмотреть на промежутки убывания-возрастания функции).
тогда y = 242/11=22.
s = 100*11+50*22=1100+1100=2200;
ответ: не хватит 2000 д.е.; нужно 2200 д.е.
25*(2*х+у)+75*у=z
50*х+25*у+75*у=z
50*х+100*у=z
50*x+100*242/x=z
z'(x)=50-24200/x^2=0
24200/x^2=50
24200=50*x^2
x=22
y=242/22=11
25*(2*22+11)+11*75=2200 д.е. необходимо для огораживания участка, 2000 д.е. не хватит.