Пусть a=х - один из катетов прямоугольного треугольника, тогда b=(х+4) - другой катет. По условию задачи периметр равен 41 см, значит гипотенуза равна c=41-(х+х+4)=41-(2х+4)=41-2х-4=37-2х. По т.Пифагора x²+(x+4)²=(37-2x)²; x²+x²+8x+16=1369-148x+4x²; -2x²+156x-1353=0; 2x²-156x+1353=0; D=24336-10824=13512; x1=(156+2√3378)/4=39+√3378/2>0; x2=(156-2√3378)/4=39-√3378/2>0; Корень х1=39+√3378/2 не подходит, так как получаем при вычислении гипотенузы отрицательное значение: a=39+√3378/2; b=39+√3378/2+4=43+√3378/2; c=37-2(39+√3378/2)=37-78-√3378<0; Проверяем второй корень: a=39-√3378/2 (см); b=39-√3378/2+4=43-√3378/2 (см); c=37-2(39-√3378/2)=37-78+√3378=√3378-41 (см)>0. При сложении сторон треугольника получаем a+b=c=39-√3378/2+43-√3378/2+√3378-41=82-41=41 (см). ответ: a=39-√3378/2 см; b=43-√3378/2 см; c=√3378-41 см.
x²+(x+4)²=(37-2x)²;
x²+x²+8x+16=1369-148x+4x²;
-2x²+156x-1353=0;
2x²-156x+1353=0;
D=24336-10824=13512;
x1=(156+2√3378)/4=39+√3378/2>0;
x2=(156-2√3378)/4=39-√3378/2>0;
Корень х1=39+√3378/2 не подходит, так как получаем при вычислении гипотенузы отрицательное значение:
a=39+√3378/2;
b=39+√3378/2+4=43+√3378/2;
c=37-2(39+√3378/2)=37-78-√3378<0;
Проверяем второй корень:
a=39-√3378/2 (см);
b=39-√3378/2+4=43-√3378/2 (см);
c=37-2(39-√3378/2)=37-78+√3378=√3378-41 (см)>0.
При сложении сторон треугольника получаем a+b=c=39-√3378/2+43-√3378/2+√3378-41=82-41=41 (см).
ответ: a=39-√3378/2 см; b=43-√3378/2 см; c=√3378-41 см.