Возможно ли тут решить не через квадратное уравнение?
и в целом, какие манипуляции здесь проводят с левой часть уравнения объясните .

Не знаю, вероятнее всего можно, но это явно будет сложнее, чем дискриминанты искать.

В левой части все стандартно: раскрыть скобки, убрать знаменатели, перекинуть правую часть влево. В общем, превратить в человеческое, красивое квадратное уравнение.