Найдите наименьшее отличное от полного квадрата натуральное число n такое, что десятичная запись числа √n имеет вид: а, , (то есть, после запятой идут сначала две девятки, а потом любые цифры). здесь а целая часть числа √n.

Очевидно, что искать надо среди чисел, которые на 1 меньше полных квадратов, т.к. дробная часть корня этих чисел будет максимально приближена к 0,99. Т.к. √N=A,99xxx.., получаем неравенство √N≥A,99, √N≥A+0,99 обозначим  (1),
одновременно с этим должно выполняться неравенство √N<A+1 обозначим (2)
Т.к. число N  на 1 меньше полного квадрата, то √(N+1)=A+1 обозначим (3),
возведем обе части (3) в квадрат, получим N+1=A²+2A+1, N=A²+2A (4),
возведем  обе части (2)в квадрат, получим N<A²+2A+1, подставим N из (4), получим A²+2A<A²+2A+1, 0<1, что всегда выполняется, значит, при данных условиях неравенство (2) всегда выполняется.
Тогда, получаем, что нужно решить систему  √N≥A+0,99 (1), √(N+1)=A+1 (3), где
N,A - натуральные числа, и надо найти наименьшие.
Мы уже получили равенство (4) из равенства (3).
Возведем в квадрат обе части (1) и подставим N из (4):
N≥(A+0,99)², A²+2A≥A²+1,98A+0,9801, 0,02A≥0,9801, A≥0,9801/0,02, A≥49,005
ближайшее целое A=50, тогда √(N+1)=51, N+1=2601, N=2600
ответ: наименьшее N=2600