Напишите уравнение той касательной к графику функции - вопрос №6946622 от муркот11 19.11.2020 07:25

Question

Алгебра: Напишите уравнение той касательной к графику функции y=f(x), которая параллельна данной прямой y=kx+m: f(x)=ln(3x+2), y=x+7

муркот11 · Answer

Так как касательная параллельная прямой y=x+7, то угловые коэффициенты этих прямых равны: k=1

. Также угловой коэффициент равен значению производной в точке касания: f'(x_0)=1

. Таким образом, мы сможем найти точку касания:
$f(x)=\ln(3x+2)
\\\
f'(x)= \frac{1}{3x+2} \cdot(3x+2)'=\frac{1}{3x+2} \cdot3=\frac{3}{3x+2} 
\\\
f'(x_0)= \frac{3}{3x_0+2} =1
\\\
3x_0+2=3
\\\
3x_0=1
\\\
x_0= \frac{1}{3}$
Уравнение касательной в общем виде:
y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

Неизвестным остается только значение функции в точке касания:
$f(x_0)=\ln(3\cdot \frac{1}{3} +2)=\ln3$
Получаем уравнение:
$y=\ln3+(x- \frac{1}{3} )=x+\ln3- \frac{1}{3}$