X(1+y) +y(1+z )+z(1+x)> 6под кореньxyz

Пусть, для определённости, x<=y<=z (<= обозначает "меньше или равно").
Тогда хyz=x+y+z<=3z, т. е. хyz<=3z. Отсюда xy<=3, а поэтому х^2<=3.
Так как x - натуральное, то x=1.
Далее, если у=1, то из уравнения xyz=x+y+z следует, что z=2+z, что невозможно.
Если y>=3, то из этого же уравнения следует, что 3z=z+4, т. е. z=2, а поэтому у>z, что невозможно.
Таким образом, у<3, и следовательно, у=2.
Подставляя значения х=1 и у=2 в уравнение xyz=x+y+z получим 2z=3+z, а отсюда z=3