При каком значении k выражение x^2+2(k-9)x+k^2+3k-3 представимо в виде полного квадрата?

Выражение можно представить в виде полного квадрата, когда корни квадратного уравнения совпадают. Это будет только при D = 0.

x² + 2(k - 9)x + k² + 3k - 3

Чтобы сократить вычисления найдем D / 4 вместо обычного дискриминанта. 
D / 4 = (k - 9)² - (k² + 3k - 3)

Приравняем к нулю и решим полученное уравнение.
(k - 9)² - (k² + 3k - 3) = 0
k² - 18k + 81 - k² - 3k + 3 = 0
-21k + 84 = 0
21k = 84
k = 4

ответ: при k = 4