Для начала рассмотрим каждую дробь по отдельности:
1/x - 1:
Чтобы сложить эти две дроби, необходимо найти их общий знаменатель. В данном случае это x. Приведя дроби к общему знаменателю, получим (1 - x)/x.
1/2 - x:
Для сложения этих двух дробей также необходимо найти их общий знаменатель. Знаменатель второй дроби уже является общим, поэтому первую дробь нужно привести к знаменателю 2. Получим 1/2 - 2x/2 = (1 - 2x)/2.
Итак, у нас имеем неравенство (1 - x)/x + (1 - 2x)/2 < 5.
Чтобы решить это неравенство, сначала умножим все слагаемые на 2x, чтобы избавиться от знаменателя и сделать дробь обыкновенной:
2(x - 1) + x(1 - 2x) < 5x.
Произведем раскрытие скобок:
2x - 2 + x - 2x^2 < 5x.
Теперь объединим все слагаемые на одну сторону неравенства:
2x - 2 + x - 2x^2 - 5x < 0.
Сокращаем подобные слагаемые:
-2x^2 - 2x - 3x - 2 < 0.
-2x^2 - 5x - 2 < 0.
Далее, найдем корни уравнения -2x^2 - 5x - 2 = 0, чтобы выяснить, как меняется знак неравенства на отрезках между корнями.
Для решения уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac.
Тут a = -2, b = -5, c = -2.
D = (-5)^2 - 4*(-2)*(-2)
= 25 - 16
= 9.
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня.
ответ внизу на фото
Объяснение:
1/x - 1:
Чтобы сложить эти две дроби, необходимо найти их общий знаменатель. В данном случае это x. Приведя дроби к общему знаменателю, получим (1 - x)/x.
1/2 - x:
Для сложения этих двух дробей также необходимо найти их общий знаменатель. Знаменатель второй дроби уже является общим, поэтому первую дробь нужно привести к знаменателю 2. Получим 1/2 - 2x/2 = (1 - 2x)/2.
Итак, у нас имеем неравенство (1 - x)/x + (1 - 2x)/2 < 5.
Чтобы решить это неравенство, сначала умножим все слагаемые на 2x, чтобы избавиться от знаменателя и сделать дробь обыкновенной:
2(x - 1) + x(1 - 2x) < 5x.
Произведем раскрытие скобок:
2x - 2 + x - 2x^2 < 5x.
Теперь объединим все слагаемые на одну сторону неравенства:
2x - 2 + x - 2x^2 - 5x < 0.
Сокращаем подобные слагаемые:
-2x^2 - 2x - 3x - 2 < 0.
-2x^2 - 5x - 2 < 0.
Далее, найдем корни уравнения -2x^2 - 5x - 2 = 0, чтобы выяснить, как меняется знак неравенства на отрезках между корнями.
Для решения уравнения, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac.
Тут a = -2, b = -5, c = -2.
D = (-5)^2 - 4*(-2)*(-2)
= 25 - 16
= 9.
Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня.
x1,2 = (-b ± √D) / 2a
= (-(-5) ± √9) / (2*(-2))
= (5 ± 3) / (-4).
Таким образом, x1 = 2/(-4) = -1/2 и x2 = 8/(-4) = -2.
Итак, мы нашли корни уравнения -2x^2 - 5x - 2 = 0.
Разобьем промежуток от -∞ до +∞ на три отрезка, используя эти корни: x < -2, -2 < x < -1/2, -1/2 < x.
Теперь возьмем по одной точке из каждого отрезка, чтобы проверить знак неравенства на каждом интервале и найти решение.
Возьмем x = -3. Подставим его в начальное уравнение:
(1 - (-3))/(-3) + (1 - 2*(-3))/2 < 5.
4/(-3) + 7/2 < 5.
(-8/6) + (21/6) < 5.
13/6 < 5.
Данное неравенство выполняется, так как 13/6 действительно меньше 5.
Теперь возьмем x = -1. Подставим его в начальное уравнение:
(1 - (-1))/(-1) + (1 - 2*(-1))/2 < 5.
2/(-1) + 3/2 < 5.
(-4/2) + (3/2) < 5.
(-1/2) < 5.
Данное неравенство также выполняется.
Наконец, возьмем x = 0. Подставим его в начальное уравнение:
(1 - 0)/0 + (1 - 2*0)/2 < 5.
1/0 + 1/2 < 5.
1/0 не имеет смысла, так как деление на ноль запрещено.
Таким образом, ответом на данное неравенство являются все значения x, которые лежат в отрезке (-∞, -2) и (-1/2, +∞).