Алгебра: Найти производную функции f(x)=(x^4-6)/(2x^2+5x)

Найти производную функции f(x)=(x^4-6)/(2x^2+5x)

Ответ:

kot291

30.08.2020 15:55

$f(x)= \frac{x^4-6}{2x^2+5x}$
Теперь краткая теория. Что подразумевается под "производной".
Определение значит звучит так:
f'(x)= $\lim_{x \to 0} \frac{Δy}{Δx}$
Где дельтой обозначены т.н. "приращения" аргумента и функции соответственно.
Приращение - некоторый промежуток, который мы получаем, если возьмем две точки x и x(0), вот разница x-x(0) (ну или x(0)-x) есть приращение аргумента.
Приращение функции, в свою очередь, есть y-y(0).
Такие приращения также заменяют бесконечно малыми приращениями и выглядит это уже без предела (беспредельщина)
$\frac{df(x)}{dx}$
Это и есть производная.
Свойств у нее несколько, мы будем использовать два:
(f+g)'=f'+g' и
$( \frac{f}{g} )' = \frac{f'g-fg'}{g^2}$
Ну и нужна табличка производных. Из нее берем формулу для полиномиальной (или степенной) функции:
$f(x)= x^{a}$
Тогда $f'(x)=ax^{a-1}$
Такие делы.
Получаем на нашем примере:
$f'(x)= \frac{(x^4-6)'(2x^2+5x)-(x^4-6)(2x^2+5x)'}{(2x^2+5x)}$
$f'(x)= \frac{4x^3(2x^2+5x)-(4x+5)(x^4-6)}{4x^4+20x^3+25x^2}$
Осталось лишь раскрыть скобки и получить следующий ответ:
$f'(x)= \frac{4x^5+15x^4+24x+30}{4x^4+20x^3+25x^2}$