Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема при условии, что длина его диагонали равна d.

Итак, нужно найти максимум функции V(x,y,z) = xyz при условиях 0 <= x, y, z <= d, x^2 + y^2 + z^2 = d^2

В плане максимума V от V^2 ничем не отличается - нам, где максимум у V, там же и у V^2, и наоборот.

V^2 = x^2 * y^2 * z^2 = x^2 * y^2 * (d^2 - x^2 - y^2)

На границе интересующей нас области V^2 = 0, а внутри не 0 -> максимум достигается где-то внутри
V^2 - равномерно дифференцируема -> максимум может достигаться только там, где равны нулю частные производные.

d/dx: 2x * y^2 * (d^2 - x^2 - y^2) - x^2 * y^2 * 2x = 0
2xy^2 (d^2 - x^2 - y^2 - x^2) = 0
2x^2 + y^2 = d^2 (*)

d/dy: x^2 * 2y * (d^2 - x^2 - y^2) - x^2 * y^2 * 2y = 0
2yx^2 (d^2 - x^2 - y^2 - y^2) = 0
x^2 + 2y^2 = d^2 (**)

Вычитая из (*) (**) получаем
x^2 - y^2 = 0
x = y

Подставляем в любое из уравнений, получаем, что x^2 = y^2 = d^2 / 3, откуда z^2 = d^2 / 3

x = y = z = d / sqrt(3) и искомый параллелепипед - куб.