Тождество или тождественное равенство – буквенное равенство, верное при любых действительных значениях букв (переменных) , при которых обе части этого равенства принимают числовые значения. Это есть определение тождества.
Например, равенство x + y - 1 = -1 - (- x - y) ; является тождествами относительно х и у, поскольку верно при любых значениях переменных х и у.
Равенство x + y - 1 = 2 - (- x - y) не является тождеством. Оно не верно ни при каких значениях переменных х и у.
Равенствоx + y - 1 = -1 + (- x - y) также не является тождеством. Оно верно лишь при некоторых значениях переменных, а именно при всех таких, что х+у=0 и не верно при любых других значениях х и у. Например, оно ложно при х=0, у=1.
Говорят также, что тождество есть равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Это «определение» менее удачно. Здесь требуется дополнительно объяснить, какие именно значения переменных является допустимыми. Рассмотрим, например, равенство sin 2pc = sin 22pу . Оно не является тождеством в смысле данного выше определения, поскольку оно ложно, например, при х=0,25 и у=0. Однако, если мы будем рассматривать это равенство при целочисленных значениях переменных х и у, то есть будем считать допустимыми только целые значения х и у, то указанное равенство будет верным. Можно сказать, что оно является тождеством, если допустимыми являются только целочисленные значения переменных х и у.
Если равенство верно при всех значениях переменных, которые принимают значения из данного множества А, то говорят, что данное равенство есть тождество на А.
Например, равенство x + y - 1 = -1 - (- x - y) ; является тождествами относительно х и у, поскольку верно при любых значениях переменных х и у.
Равенство x + y - 1 = 2 - (- x - y) не является тождеством. Оно не верно ни при каких значениях переменных х и у.
Равенствоx + y - 1 = -1 + (- x - y) также не является тождеством. Оно верно лишь при некоторых значениях переменных, а именно при всех таких, что х+у=0 и не верно при любых других значениях х и у. Например, оно ложно при х=0, у=1.
Говорят также, что тождество есть равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Это «определение» менее удачно. Здесь требуется дополнительно объяснить, какие именно значения переменных является допустимыми. Рассмотрим, например, равенство sin 2pc = sin 22pу . Оно не является тождеством в смысле данного выше определения, поскольку оно ложно, например, при х=0,25 и у=0. Однако, если мы будем рассматривать это равенство при целочисленных значениях переменных х и у, то есть будем считать допустимыми только целые значения х и у, то указанное равенство будет верным. Можно сказать, что оно является тождеством, если допустимыми являются только целочисленные значения переменных х и у.
Если равенство верно при всех значениях переменных, которые принимают значения из данного множества А, то говорят, что данное равенство есть тождество на А.