Найти производную модуля числа x при x не равном нулю а также производную дробной части числа {x}, интеграл модуля и дробной части

интеграл от нее , известно что равен 
  , хотя по сути можно упрощение сделать. Это лишь формальности 

По формуле  
, где  целая часть числа. 
 По свойству кусочных функций ,  сама дробная часть имеет период  , это  видно из графика   . 
  И она очевидно разрывна , что уже говорит что у нее производная будет равна 
    
 Интеграл можно  "раздробить"  ориентируясь по графику , можно заметить то что площадь есть сумма площадей прямоугольных треугольников , длинами катетов равными 1 и 1 . 
 Если брать общее число каких то площадей , то тут суммарно не разберешься , если же какой та определенный кусок есть .
к примеру  от    до  , то   площадь этих треугольников , равна    , если же  перейти к примеру  то