При каких значениях b прямая y=bx имеет с графиком функции y=(x-3)/(3x-х в квадрате) ровно одну общую точку?

Ответ:

uchenik1988

28.06.2020 17:41

$f(x)=\frac{x-3}{3x-x^2},g(x)=bx$
Определим функцию: h(x)=f(x)-g(x)

. Из определения следует, что каждый корень $x_{i}:h(x_{i})=0$ укажет координату x пересечения двух функций (то есть: для каждого корня $x_{i}$ верно $h(x_{i})=0=f(x_{i})=g(x_{i})$ ).
$h(x)=\frac{x-3}{3x-x^2}-bx=h(x)=\frac{x-3-3bx^2+bx^3}{x(3-x)}$
Всё, что от нас требуется - обеспечить единственное решение (три равных корня) $x_{1}$ для h(x).

$f(x)=\frac{x-3}{x(3-x)}=f(x)=-\frac{1}{x}:x \neq 3=h(x)=\frac{-1-bx^2}{x}:x \neq 3$
Если бы h(x) была, к примеру, параболой - можно было найти все значения b для которых справедливо равенство Δ=0 (следовательно - для которых есть единственное решение), но в данном случае у нас рациональная функция, потому нужен другой метод.
Легко проверить что h(-x)=-h(x)

следовательно, любой корень $x_{i}$ на области x>0 вернёт корень $x_{j}=-x_{i}$ . А значит и корня будет два!
Пусть выполняется $-\frac{1+bx^2}{x}=0$ когда x=3

. Как было сказано раньше - мы получим (на первый взгляд) два корня $x_{1}=3,x_{2}=-3$ , но!
x=3 был исключён из области определения тут: $h(x)=\frac{-1-bx^2}{x}:x \neq 3$ , а значит вместо h(3)=0

мы получаем прокол. Итого - единственный корень x=-3,
что и требовалось. А значения b, выполняющие условие: $b=-\frac{1}{9}$
Реверсия. Для $b=-\frac{1}{9}$ справедливо: едиственный х выполняющий $h(x_{1})=0$ ⇒ едиственный х выполняющий f(x_1)=g(x_1)