Нужно. радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/сек. с какой скоростью растут площадь поверхности шара и обьём шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см.
Давайте начнем с рассмотрения формул для площади поверхности и объема шара в зависимости от его радиуса.
Формула для площади поверхности шара:
S = 4πr^2
Формула для объема шара:
V = (4/3)πr^3
Теперь нам нужно найти производные этих функций, чтобы вычислить скорости роста площади поверхности и объема. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.
Для первоначальных формул, подставим значение радиуса r = 50 см и начнем дифференцировать. Затем мы найдем значение производной по времени для каждой из формул, когда радиус шара растет на 5 см/сек.
1. Площадь поверхности шара (S):
S = 4πr^2
S = 4π(50)^2
S = 4π(2500)
S = 10000π см^2
Теперь возьмем производную от S по времени, используя правило дифференцирования сложной функции:
dS/dt = dS/dr * dr/dt
где dS/dr - производная S по r, а dr/dt - скорость роста радиуса.
dS/dr = d(4πr^2)/dr
dS/dr = 8πr
Теперь подставим значение радиуса r = 50 см и скорость роста радиуса dr/dt = 5 см/сек:
dS/dt = (8π(50))*(5)
dS/dt = 400π см^2/сек
Итак, скорость роста площади поверхности шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см, составляет 400π см^2/сек.
2. Объем шара (V):
V = (4/3)πr^3
V = (4/3)π(50)^3
V = (4/3)π(125000)
V = 166666.67π см^3
Теперь найдем производную от V по времени, используя правило дифференцирования сложной функции:
dV/dt = dV/dr * dr/dt
где dV/dr - производная V по r, а dr/dt - скорость роста радиуса.
dV/dr = d((4/3)πr^3)/dr
dV/dr = 4πr^2
Теперь подставим значение радиуса r = 50 см и скорость роста радиуса dr/dt = 5 см/сек:
dV/dt = (4π(50)^2)*(5)
dV/dt = 10000π см^3/сек
Итак, скорость роста объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см, составляет 10000π см^3/сек.
Итак, ответ на вопрос:
Площадь поверхности шара растет со скоростью 400π см^2/сек, а объем шара растет со скоростью 10000π см^3/сек, когда его радиус становится равным 50 см.
Формула для площади поверхности шара:
S = 4πr^2
Формула для объема шара:
V = (4/3)πr^3
Теперь нам нужно найти производные этих функций, чтобы вычислить скорости роста площади поверхности и объема. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.
Для первоначальных формул, подставим значение радиуса r = 50 см и начнем дифференцировать. Затем мы найдем значение производной по времени для каждой из формул, когда радиус шара растет на 5 см/сек.
1. Площадь поверхности шара (S):
S = 4πr^2
S = 4π(50)^2
S = 4π(2500)
S = 10000π см^2
Теперь возьмем производную от S по времени, используя правило дифференцирования сложной функции:
dS/dt = dS/dr * dr/dt
где dS/dr - производная S по r, а dr/dt - скорость роста радиуса.
dS/dr = d(4πr^2)/dr
dS/dr = 8πr
Теперь подставим значение радиуса r = 50 см и скорость роста радиуса dr/dt = 5 см/сек:
dS/dt = (8π(50))*(5)
dS/dt = 400π см^2/сек
Итак, скорость роста площади поверхности шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см, составляет 400π см^2/сек.
2. Объем шара (V):
V = (4/3)πr^3
V = (4/3)π(50)^3
V = (4/3)π(125000)
V = 166666.67π см^3
Теперь найдем производную от V по времени, используя правило дифференцирования сложной функции:
dV/dt = dV/dr * dr/dt
где dV/dr - производная V по r, а dr/dt - скорость роста радиуса.
dV/dr = d((4/3)πr^3)/dr
dV/dr = 4πr^2
Теперь подставим значение радиуса r = 50 см и скорость роста радиуса dr/dt = 5 см/сек:
dV/dt = (4π(50)^2)*(5)
dV/dt = 10000π см^3/сек
Итак, скорость роста объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см, составляет 10000π см^3/сек.
Итак, ответ на вопрос:
Площадь поверхности шара растет со скоростью 400π см^2/сек, а объем шара растет со скоростью 10000π см^3/сек, когда его радиус становится равным 50 см.