Найти область определения функции y = - вопрос №1736755 от Gerfat347 23.03.2021 10:27

Question

Алгебра: Найти область определения функции y =

Gerfat347 · Answer

Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, есть выполняться неравенство

$25^x-8*5^x+15\geqslant 0$

Пусть t=5^x

. Тогда

$t^2-8t+15\geqslant 0.$

Согласно теореме Виетта нетрудно догадаться, что

$\left \{ {{t_1*t_2=15} \atop {t_1+t_2=8}} \right.$ .

Множителями числа 15 будут 5 и 3. В сумме же они дадут 8. Значит эти числа будут корнями уравнения
t^2-8t+15=0.

Неравенство можно переписать в виде

$(t-3)*(t-5)\geqslant 0$

Методом интервалов нетрудно посчитать, что при

$t\in(-\infty;\,3]\cup [5;\,\infty)$
Теперь вместо t подставим исходное значение

$\left \{ {5^x\leqslant 3,} \atop {5^x\geqslant 5.}} \right.$

Логарифмируя обе части этих неравенств по основанию 5, не меняем знака неравенства, так как 5>1.

$\left \{ {{x\leqslant \log_5 3} \atop {x\geqslant \log_5 5}} \right.$
Или
$\left \{ {{x\leqslant \log_5 3} \atop {x\geqslant 1}}$

А если записать в виде интервалов, то

ответ:

$x\in(-\infty;\,\log_5 3]\cup[1;\,\infty)$