Найти целые числа k и m, удовлетворяющие условию 2^(2k+1) + 2^k = m^2/

Пусть сначала k>0.

Так как первый сомножитель делится на 2, а второй не делится, то 2^k должно быть полным квадратом, т.е. k четно; k=2K. Если первый сомножитель представляется полным квадратом, то и второй сомножитель - полный квадрат.

2^(2K+1)+1=m^2

2^(2K+1)=(m-1)(m+1)

Стало быть, m нечетно; m=2M+1

2^(2K+1)=2M*2(M+1)

2^(2K-1)=M*(M+1)

Последнее равенство при целых M, K выполняется, если:

- 2K-1=0 - не может такого быть

- M=0, тогда 2K-1=0, чего опять быть не может.

Итак, единственный возможный вариант - k=0. Подставим:

2^1+2^0=m^2

m^2=3

Это  уравнение не имеет целочисленных корней.

Теперь k<0. 

k=-1: 2^(-1)+2^(-1)=m^2

1=m^2

m=+-1

k<-2: первое число - несократимая дробь со знаменателем -(2k+1), второе - дробь со знаменателем (-k). При рассматриваемых k -(2k+1)>-k, так что сумма дробей не является целым числом.

ответ. (k,m)=(-1,+-1).