Найти все значения параметра a, при которых функция f(x) = x^2 - |x-a^2| - 9x имеет хотя бы одну точку максимума.

Максимум когда функция меняет свой знак с плюса на минус.

f'(x)=2x+(x-a^2)/| x-a^2|-9

f'(x)=2x|x-a^2| -9|x-a^2|+x-a^2

f'(x)=0

2x|x-a^2| -9|x-a^2|+x-a^2=0

x-a^2>0

2x(x-a^2)-9(x-a^2)+x-a^2=0

2x^2-2xa^2-9x+9a^2+x-a^2=0

2x^2-2a^2*x-8x+8a^2=0

2x^2-2a^2*x=8x-8a^2

(2x-8)(x-a^2)=0

x=4

x=a^2

a=2

имеет один максимум 

f'(x)=2x-8

f'(x)=2x-10

4<a^2<5

a>+-2

a<+-V5