Для того чтобы найти количество точек, в которых функция y=tgx/cos2x+0,5 не определена, мы должны рассмотреть значения аргумента, при которых знаменатель в функции обращается в ноль. Как известно, функция tg(x) не определена при значении аргумента x, равном (2k+1)пи/2, где k - любое целое число. То есть, tg(x) не определена при значениях x=(2k+1)пи/2.
Теперь рассмотрим вторую часть знаменателя, cos(2x). Функция cos(2x) обращается в ноль при значении аргумента x=(2k+1)пи/4, где k - любое целое число. То есть, cos(2x) не определена при значениях x=(2k+1)пи/4.
Итак, нам нужно найти значения x, при которых хотя бы одна из двух функций tg(x) или cos(2x) обращается в ноль на отрезке [0;2пи]. Для этого нам понадобится представить интервал [0;2пи] на числовой оси и определить, в каких точках целых чисел нашего интервала две функции будут обращаться в ноль.
Представим отрезок [0;2пи] на числовой оси:
0 -------------- 2пи
Теперь определим значения x, при которых функция tg(x) обращается в ноль. Найдем целые значения k, для которых x=(2k+1)пи/2 находится в пределах отрезка [0;2пи]:
k=0: x=(2*0+1)пи/2=пи/2
k=1: x=(2*1+1)пи/2=3пи/2
Итак, функция tg(x) не определена при x=пи/2 и x=3пи/2 на отрезке [0;2пи].
Теперь определим значения x, при которых функция cos(2x) обращается в ноль. Найдем целые значения k, для которых x=(2k+1)пи/4 находится в пределах отрезка [0;2пи]:
Итак, функция cos(2x) не определена при x=пи/4, x=3пи/4, x=5пи/4 и x=7пи/4 на отрезке [0;2пи].
Теперь найдем значения x, при которых хотя бы одна из функций tg(x) или cos(2x) обращается в ноль. Единственными такими значениями будут x=пи/2, x=3пи/2, x=пи/4, x=3пи/4, x=5пи/4 и x=7пи/4.
Итак, количество точек на отрезке [0;2пи], в которых функция y=tgx/cos2x+0,5 не определена, равно 6.
Теперь рассмотрим вторую часть знаменателя, cos(2x). Функция cos(2x) обращается в ноль при значении аргумента x=(2k+1)пи/4, где k - любое целое число. То есть, cos(2x) не определена при значениях x=(2k+1)пи/4.
Итак, нам нужно найти значения x, при которых хотя бы одна из двух функций tg(x) или cos(2x) обращается в ноль на отрезке [0;2пи]. Для этого нам понадобится представить интервал [0;2пи] на числовой оси и определить, в каких точках целых чисел нашего интервала две функции будут обращаться в ноль.
Представим отрезок [0;2пи] на числовой оси:
0 -------------- 2пи
Теперь определим значения x, при которых функция tg(x) обращается в ноль. Найдем целые значения k, для которых x=(2k+1)пи/2 находится в пределах отрезка [0;2пи]:
k=0: x=(2*0+1)пи/2=пи/2
k=1: x=(2*1+1)пи/2=3пи/2
Итак, функция tg(x) не определена при x=пи/2 и x=3пи/2 на отрезке [0;2пи].
Теперь определим значения x, при которых функция cos(2x) обращается в ноль. Найдем целые значения k, для которых x=(2k+1)пи/4 находится в пределах отрезка [0;2пи]:
k=0: x=(2*0+1)пи/4=пи/4
k=1: x=(2*1+1)пи/4=3пи/4
k=2: x=(2*2+1)пи/4=5пи/4
k=3: x=(2*3+1)пи/4=7пи/4
Итак, функция cos(2x) не определена при x=пи/4, x=3пи/4, x=5пи/4 и x=7пи/4 на отрезке [0;2пи].
Теперь найдем значения x, при которых хотя бы одна из функций tg(x) или cos(2x) обращается в ноль. Единственными такими значениями будут x=пи/2, x=3пи/2, x=пи/4, x=3пи/4, x=5пи/4 и x=7пи/4.
Итак, количество точек на отрезке [0;2пи], в которых функция y=tgx/cos2x+0,5 не определена, равно 6.