Найти точки экстремума функции у=х в степени 5 - 5х в степени 4+3

y = x^5 - 5x^4 +3

y' = 5x^4 - 20x^3 = 5x^3*(x -4)=0

x=0, x=4 - Точки - кандидаты в экстремумы.

y'' = 20x^3 - 60x^2 = 20x^2(x-1)=0

x=0,   x=1 кандидаты на точки перегиба

y''>0 , если x>1  - функция вогнутая

y''<0, если x<1  - функция выпуклая.

Вот только теперь с точкой х=0 стало более-менее понятно. В этой точке функция выпукла, значит это точка максимума.

С х=4 тоже понятно, в ней функция вогнута, значит это точка минимума

ответ

х=0 точка максимума

х=4 точка минимума

ну и 

х=1 - точка перегиба 

Вот и всё. Почему так длинно? К сожалению, попалась точка(х=0) которая не определяется только через 1 производную, нужно было проводить дополнительные исследования. 

Успехов!