1. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше произведения этих чисел на 31. Найдите эти числа. 2. Разложите число 16 на два слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых было равно 48.
1. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше произведения этих чисел на 31. Найдите эти числа.
Предположим, что первое натуральное число равно N. Тогда второе натуральное число будет N + 1. У нас есть условие, что сумма квадратов этих чисел должна быть больше их произведения на 31:
N^2 + (N + 1)^2 > N * (N + 1) + 31.
Раскроем скобки и упростим выражение:
N^2 + N^2 + 2N + 1 > N^2 + N + 31.
Объединим одинаковые слагаемые и упростим выражение:
2N^2 + 2N + 1 > N^2 + N + 31.
Теперь перенесем все слагаемые влево:
2N^2 + 2N - N^2 - N - 30 > 0.
Сгруппируем слагаемые:
N^2 + N - 30 > 0.
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, чтобы найти интервалы, где оно положительно:
(N - 5)(N + 6) > 0.
Таким образом, получаем два интервала:
N - 5 > 0 и N + 6 > 0.
или
N - 5 < 0 и N + 6 < 0.
Решим каждое неравенство:
N - 5 > 0:
N > 5.
N + 6 > 0:
N > -6.
N - 5 < 0:
N < 5.
N + 6 < 0:
N < -6.
Таким образом, два интервала, где неравенство выполняется, это:
N > 5 и N < -6.
Однако, по условию задачи, мы ищем натуральные числа, поэтому N не может быть отрицательным.
Итак, единственным возможным значением для N является N = 6. Тогда, второе натуральное число будет N + 1 = 7.
Ответ: первое число равно 6, второе число равно 7.
2. Разложите число 16 на два слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых было равно 48.
Предположим, что первое слагаемое равно N. Тогда второе слагаемое будет 16 - N. У нас есть условие, что произведение этих слагаемых должно быть равно 48:
N * (16 - N) = 48.
Раскроем скобки и упростим выражение:
16N - N^2 = 48.
Теперь перенесем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
N^2 - 16N + 48 = 0.
Факторизуем это квадратное уравнение:
(N - 4)(N - 12) = 0.
Ищем корни этого уравнения:
N - 4 = 0, N - 12 = 0.
N = 4, N = 12.
Теперь можем проверить, какое из этих значений подходит для нашей задачи.
Если N = 4, то второе слагаемое будет 16 - N = 16 - 4 = 12. Однако, произведение этих слагаемых не равно 48.
Если N = 12, то второе слагаемое будет 16 - N = 16 - 12 = 4. Произведение этих слагаемых равно 12 * 4 = 48.
Ответ: первое слагаемое равно 12, второе слагаемое равно 4.
1. Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше произведения этих чисел на 31. Найдите эти числа.
Предположим, что первое натуральное число равно N. Тогда второе натуральное число будет N + 1. У нас есть условие, что сумма квадратов этих чисел должна быть больше их произведения на 31:
N^2 + (N + 1)^2 > N * (N + 1) + 31.
Раскроем скобки и упростим выражение:
N^2 + N^2 + 2N + 1 > N^2 + N + 31.
Объединим одинаковые слагаемые и упростим выражение:
2N^2 + 2N + 1 > N^2 + N + 31.
Теперь перенесем все слагаемые влево:
2N^2 + 2N - N^2 - N - 30 > 0.
Сгруппируем слагаемые:
N^2 + N - 30 > 0.
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, чтобы найти интервалы, где оно положительно:
(N - 5)(N + 6) > 0.
Таким образом, получаем два интервала:
N - 5 > 0 и N + 6 > 0.
или
N - 5 < 0 и N + 6 < 0.
Решим каждое неравенство:
N - 5 > 0:
N > 5.
N + 6 > 0:
N > -6.
N - 5 < 0:
N < 5.
N + 6 < 0:
N < -6.
Таким образом, два интервала, где неравенство выполняется, это:
N > 5 и N < -6.
Однако, по условию задачи, мы ищем натуральные числа, поэтому N не может быть отрицательным.
Итак, единственным возможным значением для N является N = 6. Тогда, второе натуральное число будет N + 1 = 7.
Ответ: первое число равно 6, второе число равно 7.
2. Разложите число 16 на два слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых было равно 48.
Предположим, что первое слагаемое равно N. Тогда второе слагаемое будет 16 - N. У нас есть условие, что произведение этих слагаемых должно быть равно 48:
N * (16 - N) = 48.
Раскроем скобки и упростим выражение:
16N - N^2 = 48.
Теперь перенесем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
N^2 - 16N + 48 = 0.
Факторизуем это квадратное уравнение:
(N - 4)(N - 12) = 0.
Ищем корни этого уравнения:
N - 4 = 0, N - 12 = 0.
N = 4, N = 12.
Теперь можем проверить, какое из этих значений подходит для нашей задачи.
Если N = 4, то второе слагаемое будет 16 - N = 16 - 4 = 12. Однако, произведение этих слагаемых не равно 48.
Если N = 12, то второе слагаемое будет 16 - N = 16 - 12 = 4. Произведение этих слагаемых равно 12 * 4 = 48.
Ответ: первое слагаемое равно 12, второе слагаемое равно 4.