Реши следующие уравнения в натуральных числах n и k: а) 1!+...+n!=(1!+...+k!)2;
б) 1!+...+n!=(1!+...+k!)4, где n!=1⋅2⋅...⋅n.

ответ: n=k=1

Объяснение:

a) Простым перебором убеждаемся, что пары n=k=1 и n=3, k=2 являются решением уравнения. Теперь при n≥4 число 1!+...+n! в десятичной записи оканчивается на 3.

 Действительно,

1!+2!+3!+4!=33, n=4,

 1!+2!+3!+4!+...+n!=33+10k, n≥5,

поскольку n! делится на 10 при n≥5. Но квадрат натурального числа не может в десятичной записи оканчиваться на 3, следовательно, других решений данное уравнение не имеет.

 б) Видим, что уравнение имеет решение n=k=1. Далее, при 2≤n≤6 и n=8 число

1!+2!+3!+4!+...+n!

  делится на 3, но не делится на 27. Значит, при таких n уравнение не имеет решений. Теперь при  n≥9 получаем, что число

  1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!+8!+...+n!

  делится на 3, но не делится на 27, поскольку n! делится на 27 при n≥9. Следовательно, уравнение не имеет решений при n≥9. Наконец, при n=7 видим, что

 1!+2!+3!+4!+5!+6!+7!=5913,

но это число не является m-й степенью никакого числа.

Получаем, что единственным решением этого уравнения будет n=k=1.