Если x,y - натуральные, то нужно, чтобы xy(xy+1) было точным квадратом. Но НОД(xy,xy+1)=1, поэтому нужно, чтобы и xy, и xy+1 были точными квадратами. А такого в натуральных числах не бывает.
P.S. А в целых бывает. Единственное (с точностью до перестановки x и у) решение уравнения в целых числах - (-1, 1).
Ну-ну. Оно НЕ имеет решений в натуральных числах.
Домножим обе части равенства на x^2*y^2. Получим
y^2+xy+y^2=x^2y^2
(x+y)^2=xy(xy+1)
Если x,y - натуральные, то нужно, чтобы xy(xy+1) было точным квадратом. Но НОД(xy,xy+1)=1, поэтому нужно, чтобы и xy, и xy+1 были точными квадратами. А такого в натуральных числах не бывает.
P.S. А в целых бывает. Единственное (с точностью до перестановки x и у) решение уравнения в целых числах - (-1, 1).