Известно, что 88 % жителей некоторой страны ни разу не ели авокадо. Случайным образом выбрали n жителей и выяснили число k тех из них, которые не ели авокадо. Насколько большим должно быть n, чтобы с вероятностью более 58 % можно было утверждать, что частота k/n отличается от 0,88 не более чем на 0,01? ответ: следует опросить не менее чем ? жителей
(промежуточные результаты округляй до тысячных).
Из таблиц значений функции Ф укажи приближение:
Ф(x)≈0,29;
x≈
По теореме о больших числах, частота события, происходящего с вероятностью p (в нашем случае еще не ели авокадо), при большом числе испытаний стремится к данной вероятности p.
Мы хотим, чтобы разница между частотой k/n и вероятностью 0.88 была не больше 0.01. Или по другому, чтобы вероятность попадания частоты в интервал от 0.87 до 0.89 (то есть вероятность того, что отклонение от вероятности 0.88 будет не более чем 0.01) была не меньше 0.58.
Для этого воспользуемся обратной функцией Лапласа Ф^(-1)(p), где p = 0.58. Эта функция позволяет найти значение х такое, что вероятность нормального стандартного распределения будет меньше или равна заданной вероятности p.
По таблице значений функции Ф, где Ф(x)≈0.29, найдем соответствующее значение Х. В данном случае, Х≈0.55.
Теперь воспользуемся формулой для определения необходимого числа наблюдений:
n >= (Z * sqrt(p * (1-p))) / E,
где Z = Х (приближаем значение Х) и E = 0.01 (заданная разница между частотой и вероятностью).
Подставляя значения в формулу, получаем:
n >= (0.55 * sqrt(0.88 * (1-0.88))) / 0.01.
Вычисляем выражение в скобках:
n >= (0.55 * sqrt(0.88 * 0.12)) / 0.01,
n >= (0.55 * sqrt(0.1056)) / 0.01,
n >= (0.55 * 0.3249) / 0.01,
n >= 0.1782 / 0.01,
n >= 17.82.
Округляем до тысячных:
n >= 17.820.
Значит, чтобы с вероятностью более 58 % можно было утверждать, что частота k/n отличается от 0,88 не более чем на 0,01, необходимо опросить не менее чем 17.820 жителей.
По таблице значений функции Ф также было указано, что Ф(x)≈0.29, а значит, x≈0.55.