Сделано десять выстрелов по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле одинакова и равна p=0,3. Найти вероятность того, что окажется ровно пять попаданий в цель. 1-Решение (по формуле Бернулли)
2-Решение (по схеме Бернулли в доказательство того, что формула Бернулли – это, прежде всего, следствия теорем сложения и умножения вероятностей)
1-Решение (по формуле Бернулли):
Формула Бернулли применяется для нахождения вероятности события в серии независимых испытаний с двумя возможными исходами - успехом (попаданием) и неудачей (непопаданием). В данном случае, успехом будет считаться попадание в цель, а неудачей - непопадание.
Формула Бернулли записывается следующим образом:
P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где P(k) - вероятность того, что произойдет k успехов в серии из n испытаний,
C(n, k) - количество способов выбрать k успехов из n испытаний,
p - вероятность успеха в одном испытании,
k - количество успехов,
n - общее количество испытаний.
В данном случае:
p = 0,3,
k = 5,
n = 10.
Подставим значения в формулу и решим:
P(5) = C(10, 5) * 0,3^5 * (1-0,3)^(10-5).
C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 252.
P(5) = 252 * 0,3^5 * 0,7^5.
P(5) = 252 * 0,00243 * 0,16807.
P(5) ≈ 0,0843.
Таким образом, вероятность того, что окажется ровно пять попаданий в цель, равна около 0,0843.
2-Решение (по схеме Бернулли):
Данное решение заключается в использовании теорем сложения и умножения вероятностей и не требует непосредственного использования формулы Бернулли.
Пусть A - событие "попадание в цель", а B - событие "непопадание в цель".
По схеме Бернулли, вероятность того, что произойдет k успехов и (n-k) неудач, равна:
P(k успехов и (n-k) неудач) = p^k * (1-p)^(n-k).
В данном случае, мы ищем вероятность того, что окажется ровно пять попаданий в цель, то есть 5 успехов и 5 неудач.
P(5 успехов и 5 неудач) = p^5 * (1-p)^5.
P(5 успехов и 5 неудач) = 0,3^5 * 0,7^5.
P(5 успехов и 5 неудач) ≈ 0,00243 * 0,16807.
P(5 успехов и 5 неудач) ≈ 0,000408754.
Однако, нам необходимо учесть, что события "попадание в цель" и "непопадание в цель" не обязательно должны происходить последовательно. Мы можем переставить эти события в любом порядке, и результат останется таким же. То есть, порядок попаданий и непопаданий может быть любым.
Количество различных перестановок попаданий и непопаданий задается формулой:
C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!).
C(10, 5) = 252.
Поэтому, вероятность того, что окажется ровно пять попаданий в цель, равна:
P(5 попаданий) = P(5 успехов и 5 неудач) * C(10, 5).
P(5 попаданий) ≈ 0,000408754 * 252.
P(5 попаданий) ≈ 0,1029.
Таким образом, вероятность того, что окажется ровно пять попаданий в цель, приближенно равна 0,1029.
Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, спросите.