Предположим обратное: √11 - рациональное число, тогда по определению
рац. числа √11 можно представить в виде несокаратимой дроби m/n где m и n - целые числа.
√11 = m/n
Возведем в квадрат обе части равенства: 11 = m²/n², или m² = 11n² =>
m² делится на 11, а т.к. 11 - простое, следовательно, m тоже делится на 11, откуда m = 11k,
тогдаm² = 121k² или 121k²= 11n² => 11k² = n² то есть n² делится на 11,
а значит,а т.к. 11 - простое, то n делится на на 11, следовательно, числа m и n имеют общий делитель 11, а следовательно дробь m/n - сократима, что противоречит определению рационального числа. Таким образом, предположение о том, что √11 является рац. числом неверно, следовательно √11 - иррациональное.
Предположим обратное: √11 - рациональное число, тогда по определению
рац. числа √11 можно представить в виде несокаратимой дроби m/n
где m и n - целые числа.
√11 = m/n
Возведем в квадрат обе части равенства: 11 = m²/n², или m² = 11n² =>
m² делится на 11, а т.к. 11 - простое, следовательно, m тоже делится на 11, откуда m = 11k,
тогдаm² = 121k² или 121k²= 11n² => 11k² = n² то есть n² делится на 11,
а значит,а т.к. 11 - простое, то n делится на на 11, следовательно, числа m и n имеют общий делитель 11, а следовательно дробь m/n - сократима, что противоречит определению рационального числа. Таким образом, предположение о том, что √11 является рац. числом неверно, следовательно √11 - иррациональное.