Слово подороджжю, на какое правило удваивается ж, если в орудному видминку удваивается после мягкого согласного, а ж твёрдый.

Подорожжю (правило - подовження). Відомо, що ми подовжуємо літера за певною схемою

голосний     Д, Т,З,С,Ц,Л,Н + Ж,Ч,Ш  голосний

Ж - це літера, яка входить до букв, які подовжуються. Слово "подорожжю" пишемо з двома літера Ж