Объясните зачем в предложения ставится запятая ? ? миновали столетия, и под натиском варваров пала когда-то могучая и непобедимая римская империя.

Запятая ставится, потому что у этого предложения две грамматические основы и у двух частей этого предложения нет общих частей речи(наречие и тд).

Это сложносочиненное предложение. Две грамматические основы [Миновали(=) столетия(_)],и[пала(=) империя(_)].
В сложносочиненном предложении запятая не ставится если:
1.Есть общий второстепенный член(обстоятельство или дополнение).
2.Общее вводное слово.
3. Между двемя вопросительными и восклицательными предложениями.