Нужно подчеркнуть основы и всё остальное большинство ночей я провожу на озёрах , а когда остаюсь дома , то ночую в старой беседке в глубине сада.

сказуемое подчеркиваем двумя чертами, подлежащее одной чертой.

Я - подлежащее выраженное существительным, отвечает на вопрос кто?. И.п.

Я, что делаю? ПРОВОЖУ - сказуемое выраженное глаголом.

Я, что делаю? ОСТАЮСЬ - сказуемое выраженное глаголом.

Я, что делаю? НОЧУЮ - сказуемое выраженное глаголом.