Какой падеж у этого прилагательного: хороши березовые рощи!

Это прилагателье в Именительном падеже (И.п.). Рощи в И.п., поэтому и прилагательное, которое 'прилагается' к нему, соответственно, тоже в Именительном падеже.

Хороши (какие?) - прилагательное
Правило:
КАКОГО ПАДЕЖА, РОДА, ЧИСЛА СУЩЕСТВИТЕЛЬНОЕ, ТАКОГО ЖЕ И В ПРИЛАГАТЕЛЬНОМ.
Но это тут не причем.
Хороши - кто? , что?
ответ: в именительном падеже