Путник беспечно улыбаясь солнцу шёл по дороге вьющихся среди холмов.синтаксический разбор и морфологический разбор слова беспечно.

 Повест., невоскл., простое, двусост., распр., осложнено причаст. и  деепричастным  оборот..
 Основа : путник шел -=.  Обстоятельство ( оборот). : беспечно улыбаясь  солнцу -/-/-  ( деепр. оборот.)
 Определение : вьющейся среди холмов ~ ( прич. оборот). Дополнение : по дороге .