Почему слова : фининспектор,спортинвентарь,пединститут,спортигра,пишутся через и,а не через ы

Потому что эти слова обр. от двух слов, а второе в своем обычном виде пишется с и.
Например: спортигра обр. от спорт (спортивная) + игра. Слово игра пишется с и.

Сокращённые слова- например "спортигра". От слов "спорт" и "гра". Остальные слова по этому же принципу.