Входит ли слово кот в фразеологизм развернутый ответ

Да входит в фразеологизм "кот наплакал "

Нет. Фразеологизмы-это сочетания слов, которые не придумывают в ходе речи, а воспроизводятся в готовом виде и употребляются в переносном значении. Пример: "С три короба"-значит большой.