Почему на стыке корне пишется и? например: шестиэтажный, восьмимесячный, семилетний, пятикратный.

Есть 2 соединительных гласных "И","О" В данном случае соединительная гласная "о" сюда не подходит, поэтому пишется буква "и".

Сложное слово. Там два корня. Один корень шест, от слова шесть, а второй этаж. А *и* это соеденительная гласная