Каким членом предложения является имя собственное аня в предложении: аня поздравляю тебя с днём рождения

ответ: не является членом предложения.
Аня, поздравляю тебя с днем рождения!
В данном предложении слово "Аня" является обращением . А обращения не является членами предложения,  т.к. не соединяются никакими грамматическими  связями с другими членами предложения .

Аня,в данном случае,-это обращение.Обращение не относится к членам предложения