Соловей-любимая птица народа, пернатый мастер первого ранга! напишите грамматическую основу .

соловей - подлежащее

птица, мастер - сказуемое

Соловей - подлежащее, выраженное существительным,

птица - сказуемое, выраженное существительным,

мастер - сказуемое, выраженное существительным.

P.S. тире в этом предложении ставится, потому что подлежащее и сказуемые выражены существительными, также предложение осложнено однородными сказуемыми.