Римское "куартариус" (от того же "куаттуор") означало: четвертая часть какой-либо меры. Затем так, "четвертина", стали называть особую повинность, вид налога - военный постой, предоставление жилья солдатам. (Помните, в "Бородине" Лермонтова: "Что ж мы, на зимние квартиры?" ворчат старики солдаты.) Это - солдатское жилье само по себе, а затем уже и любое наемное помещение для жительства в городах. К нам слово попало через немецкое "квартир".
