Графиня жила размеренно в своем особняке. размеренно какая часть речи? 1) прилагательное 2) категория состояния

Это наречие, потому что зависит от глагола и является обстоятельством.
Прилагательное зависит от части речи, выраженной существительным и чаще всего явл. часть составного именного сказуемого. Здесь простое глаг. сказуемое.
 Категория состояния явл. сказуемым в безличном предложении, а здесь двусоставное предложение.