Уже -наречие или частица прежде чем они добрались до города, им навстречу уже бежали в словарях даже похожего случая нет уже. i. нареч. случилось наступило, совершилось (какое-л. действие, состояние). у. наступила ночь. у. кто-л. приехал. у. поправился. у. начался урок. у. было поздно. // изменилось (какое-л. обстоятельство, условие и т. встретились у. в саду. работа пошла у. легче. глядеть у. дружелюбно. ii. частица. 1. усиливает значимость сообщаемого о продолжительности какого-л. отрезка времени, подчёркивает его длительность. не виделись у. несколько лет. ожидать у. пятнадцать минут. не спать у. вторые сутки. 2. усиливает значимость сообщаемого о количестве чего-л., подчёркивает значительность сообщаемого. пить у. третий стакан. принимает у. третью таблетку от жара. у. пятый раз приходит к кому-л. 3. усиливает значимость слов и словосочетаний, с которыми связано по смыслу. у. давно уехал кто-л. у. по глазам видно всё. у. все листья облетели с деревьев.
Конечно ,мы привыкли ,что всё же это частица .но здесь - наречие .