Как правильно писать бережного хранителя или бережливого хранителя .

Возможно тут зависит от контекста. Бережный - аккуратный. Бережливый - осмотрительно и осторожно расходующий что-либо

Верно. Зависит от контекста. Хотя эти слова являются синонимами, всё же есть некие смысловые оттенки. Бережливость - это расчётливость, экономичность. Более материальный, что ли, оттенок. А бережный - это заботливый, вноимательный, осторожный. Более духовный аспект.
А орфографически оба варианта верны.