Как вы думаете, глагол примириться -мириться имеют тот же корень, что и глагол умирать-умереть? или это слова с разными корнями? докажите.

Глаголы умирать - умереть - чередующая гласная в корне слова (мер- мира).
Глаголы примириться - мириться - образованы от существительного "мир", например ещё глаголы примериться - мериться (от сущ. "мера") - здесь проверяемая гласная в корне слова.