Сколько запятых в предложении ? : подбородок у матери задрожал и на глаза накатили слёзы но отмахнувшись от нахлынувших чувств она грубо растормошила сына .

Подбородок у матери задрожал, и на глаза накатили слёзы, но отмахнувшись от нахлынувших чувств она громко растормошила сына.
Первая запятая - так как предложение сложное, имеет две грамматические основы. Первая грамматическая основа: подбородок задрожал, вторая грамматическая основа: накатили слёзы. Если предложение сложное и имеет 2 и более грамматических основ, то каждую основу необходимо выделить запятой. 
Вторая запятая:  перед НО и А всегда ставится запятая