Это разные корни или варианты одного корня с чередованием звуков? сапог-сапожок и бег-бежать.

это варианты чередования звуков

потому что сапог-сапожок,буквы г и ж чередуются

Нет, это однокоренные слова. В них мы наблюдаем чередования согласных в корне слова: сапог, сапожок, сапожник, сапожная (г//ж), бег, бежать, побег, пробежка, бегун (г//ж).